\section{普适类的重正化群推导}
\label{app:rg-universality}

本附录呈现推导层级合作系统四个普适类的详细重正化群(RG)分析。我们采用Wilson的动量壳层RG框架计算单圈beta函数,识别不动点,并通过上临界维度附近的系统$\varepsilon$-展开提取临界指数。

{\color{red}\textbf{[重正化群哲学]:} RG的核心思想:逐步``粗粒化''(丢弃小尺度细节)后,系统流向``不动点''——那里物理性质不再变化。不动点附近的普适行为与微观细节无关,只依赖对称性和维度——这就是``普适性''的起源。}

\subsection{有效场论和Ginzburg-Landau哈密顿量}

我们从粗粒化连续描述开始,其中$\ell$层的序参量场$\phi_\ell(\mathbf{x})$表示空间位置$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$的局部磁化强度(协调强度)。有效哈密顿量将标准$\phi^4$理论推广为包含层级耦合:
\begin{equation}
    \mathcal{H}[\{\phi_\ell\}] = \sum_{\ell=1}^{L} \int \diff^d x \left[ \frac{1}{2}(\nabla \phi_\ell)^2 + \frac{r_\ell}{2}\phi_\ell^2 + \frac{u_\ell}{4!}\phi_\ell^4 \right] + \sum_{\ell < \ell'} \int \diff^d x \, \frac{\kappa_{\ell\ell'}}{2} \phi_\ell(\mathbf{x}) \phi_{\ell'}(\mathbf{x}),
    \label{eq:hierarchical-hamiltonian-app}
\end{equation}
其中$r_\ell \propto (T - T_{c,\ell})$是$\ell$层的约化温度,$u_\ell > 0$控制层内涨落,$\kappa_{\ell\ell'} > 0$耦合不同层级。

{\color{red}\textbf{[Landau范式]:} 这个哈密顿量是Landau相变理论的层级推广。经典$\phi^4$理论描述单层铁磁体;这里每层有自己的$\phi_\ell$场,层间通过$\kappa$项耦合。三项:1)梯度能(空间不均匀代价); 2)$r\phi^2$(靠近/远离临界点); 3)$u\phi^4$(稳定涨落)。}

\subsection{Wilson重正化群框架}

我们通过将傅里叶模式划分为慢($|\mathbf{k}| < \Lambda/b$)和快($\Lambda/b < |\mathbf{k}| < \Lambda$)分量实现动量壳层RG,其中$\Lambda$是紫外截断,$b > 1$是RG尺度因子。程序包括三步:
\begin{enumerate}
    \item \textbf{积掉快模式}:对高动量涨落$\phi_\ell^{>}(\mathbf{k})$($|\mathbf{k}| \in [\Lambda/b, \Lambda]$)执行泛函积分。
    \item \textbf{重标度坐标}:变换$\mathbf{x}' = \mathbf{x}/b$以恢复原始截断。
    \item \textbf{重标度场}:定义$\phi_\ell'(\mathbf{x}') = \phi_\ell^{<}(\mathbf{x})/b^{(d-2+\eta)/2}$以保持正则动能项归一化。
\end{enumerate}

在无穷小RG变换$b = e^{\ell}$($\ell \ll 1$)下,流动耦合按beta函数演化。

{\color{red}\textbf{[RG三部曲]:} 1)积掉快涨落——把``小尺度细节''平均掉; 2)重标度空间——放大看剩余慢场,就像用望远镜拉近; 3)重标度场——调整归一化使方程形式不变。这个``看起来一样''的要求给出beta函数——耦合如何``流动''。}

\subsection{单圈Beta函数}

在$d = 4 - \varepsilon$维(其中$\varepsilon$是偏离上临界维度),对$u$和$\kappa$微扰计算到单圈阶给出以下beta函数:

{\color{red}\textbf{[为什么$d=4-\varepsilon$]:} $d=4$是$\phi^4$理论的上临界维度——在$d\geq 4$涨落``弱'',平均场理论精确;在$d<4$涨落``强'',需要RG。$\varepsilon=4-d$作为小参数,允许微扰展开——这是Wilson $\varepsilon$-展开的天才技巧。}

\textbf{层内四次耦合:}
\begin{equation}
    \beta_u = \frac{\diff u}{\diff \ell} = -\varepsilon u + \frac{3u^2}{16\pi^2} + O(u^3, u^2\kappa).
    \label{eq:beta-u-app}
\end{equation}
第一项$-\varepsilon u$来自工程维度分析(在$d = 4-\varepsilon$中$[u] = \varepsilon$),而正的$u^2$项捕捉来自圈图的涨落重整化。

{\color{red}\textbf{[Beta函数的物理]:} $\beta_u<0$时$u$流向零(高斯不动点,无相互作用); $\beta_u>0$时$u$流向无穷(强耦合,理论崩溃); $\beta_u=0$是不动点(临界理论)。这里两项竞争:$-\varepsilon u$(工程维度倾向弱化$u$)和$+u^2$(量子/热涨落倾向增强$u$)。平衡点$u^*=16\pi^2\varepsilon/3$是Wilson-Fisher不动点。}

\textbf{层间耦合:}
\begin{equation}
    \beta_\kappa = \frac{\diff \kappa}{\diff \ell} = -\frac{\varepsilon}{2}\kappa + \frac{u\kappa}{8\pi^2} + O(\kappa^3, u\kappa^2).
    \label{eq:beta-kappa-app}
\end{equation}

\textbf{约化温度:}
\begin{equation}
    \beta_r = \frac{\diff r}{\diff \ell} = 2r + \frac{u}{8\pi^2} + \frac{\kappa^2}{8\pi^2}.
    \label{eq:beta-r-app}
\end{equation}

{\color{red}\textbf{[相关算符]:} $r$的beta函数$\beta_r=2r+\cdots$中,$2r$项来自工程维度$[r]=2$(在$d$维$[\phi^2]=d$,$\int d^dx$有$[]=−d$,所以$[r\phi^2]=2$)。$\beta_r>0$意味着$r$是``相关算符''——远离临界点流向更远。临界点本身在$r=0$。}

\subsection{不动点分析与普适类}

不动点$(u^*, \kappa^*)$满足$\beta_u(u^*, \kappa^*) = 0$和$\beta_\kappa(u^*, \kappa^*) = 0$。我们识别出对应普适类的四个物理上不同的不动点。

{\color{red}\textbf{[不动点=普适类]:} 每个不动点吸引一个``流域''——所有流向它的初始理论。流域内的系统,无论微观细节如何不同,都表现相同临界行为(相同指数)。这就是``普适性''——众多理论归为少数几类。}

\subsubsection{类I:独立层($\kappa \to 0$)}

设$\kappa = 0$消除层间耦合。系统简化为$L$个独立$\phi^4$理论,各自具有Wilson-Fisher不动点:
\begin{equation}
    u_{\text{I}}^* = \frac{16\pi^2 \varepsilon}{3}, \quad \kappa_{\text{I}}^* = 0.
    \label{eq:fp-class-i-app}
\end{equation}

\textbf{稳定性矩阵:}此不动点附近的线性化RG流由下式支配
\begin{equation}
    M_{\text{I}} = \begin{pmatrix}
        \varepsilon & 0 \\
        0 & -\varepsilon/2 + u_{\text{I}}^*/(8\pi^2)
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
        \varepsilon & 0 \\
        0 & \varepsilon/6
    \end{pmatrix}.
\end{equation}
本征值为$\lambda_u = \varepsilon > 0$(相关)和$\lambda_\kappa = \varepsilon/6 > 0$(相关),确认独立不动点对层间微扰不稳定。

{\color{red}\textbf{[稳定性分析]:} 稳定性矩阵$M_{ij}=\partial\beta_i/\partial g_j$的本征值告诉我们不动点的命运。$\lambda>0$:扰动增长(相关方向,流向无穷); $\lambda<0$:扰动衰减(不相关方向,流向不动点); $\lambda=0$:边缘(对数流动)。这里$\lambda_\kappa>0$说:任何小的层间耦合都会增长,系统离开独立不动点。}

\textbf{临界指数:}标准$\varepsilon$-展开给出(一阶):
\begin{align}
    \nu_{\text{I}} &= \frac{1}{2} + \frac{\varepsilon}{12} + O(\varepsilon^2) \approx 0.630 \quad (d=3), \\
    \gamma_{\text{I}} &= 1 + \frac{\varepsilon}{6} + O(\varepsilon^2) \approx 1.237 \quad (d=3), \\
    \beta_{\text{I}} &= \frac{1}{2} - \frac{3\varepsilon}{36} + O(\varepsilon^2) \approx 0.326 \quad (d=3).
\end{align}
这些匹配3D Ising普适性,适合具有孤立独立层级的组织层级。

{\color{red}\textbf{[Ising普适类]:} $\nu\approx 0.63$控制关联长度$\xi\sim|T-T_c|^{-\nu}$发散; $\gamma\approx 1.24$控制磁化率$\chi\sim|T-T_c|^{-\gamma}$发散; $\beta\approx 0.33$控制序参量$m\sim|T-T_c|^\beta$消失。这三个数对所有3D Ising系统相同——无论是铁磁体、液气相变还是独立层级组织!}

\subsubsection{类II:弱层间耦合($\kappa \ll u$)}

当$\kappa$小但非零,我们微扰处理层间耦合。对$\delta\kappa$的领先阶,跨层关联函数获得修正:
\begin{equation}
    \langle \phi_\ell(\mathbf{x}) \phi_{\ell'}(\mathbf{x}') \rangle \sim \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^{2(d-2+\eta)}} \cdot |\ell - \ell'|^{-\Delta},
\end{equation}
其中反常维度为
\begin{equation}
    \Delta = 2 - \frac{\kappa}{u \xi_\perp} + O(\kappa^2).
\end{equation}

微扰修正使临界指数偏移为
\begin{equation}
    \nu_{\text{II}} = \nu_{\text{I}}\left(1 + c_\kappa \frac{\kappa^2}{u^2}\right), \quad \gamma_{\text{II}} = \gamma_{\text{I}}\left(1 + c'_\kappa \frac{\kappa^2}{u^2}\right).
\end{equation}

{\color{red}\textbf{[微扰修正]:} 类II不是新的不动点,而是类I附近的``微扰轨道''。弱层间耦合$\kappa$引起指数的小修正$\sim\kappa^2/u^2$——二阶因为一阶在Ising对称性下消失。这描述``略有耦合''的层级,还未形成新的临界行为。}

\subsubsection{类III:强层间耦合($\kappa \sim u$)}

当层间耦合与层内涨落可比,系统发展出新的不动点。同时求解$\beta_u = 0$和$\beta_\kappa = 0$:
\begin{align}
    -\varepsilon u^* + \frac{3(u^*)^2}{16\pi^2} &= 0 \quad \Rightarrow \quad u^* = \frac{16\pi^2 \varepsilon}{3}, \\
    -\frac{\varepsilon}{2}\kappa^* + \frac{u^* \kappa^*}{8\pi^2} &= 0 \quad \Rightarrow \quad \kappa^* = \sqrt{\frac{32\pi^2 \varepsilon}{3}}.
\end{align}

这给出强耦合不动点:
\begin{equation}
    u_{\text{III}}^* = \frac{16\pi^2 \varepsilon}{3}, \quad \kappa_{\text{III}}^* = \sqrt{\frac{32\pi^2 \varepsilon}{3}}.
    \label{eq:fp-class-iii-app}
\end{equation}

\textbf{有效维度:}跨$L$层的强耦合增加有效空间维度:
\begin{equation}
    d_{\text{eff}} = d + (L - 1).
\end{equation}
对于$d_{\text{eff}} > 4$(当$L > 5-d$时达到),系统位于上临界维度之上并表现平均场行为:
\begin{equation}
    \beta_{\text{III}} = \frac{1}{2}, \quad \gamma_{\text{III}} = 1, \quad \nu_{\text{III}} = \frac{1}{2}.
\end{equation}

这描述紧密集成的指挥控制层级,其中涨落被强自上而下协调抑制。

{\color{red}\textbf{[有效维度的物理]:} 强层间耦合使系统``像更高维''——每增加一个耦合层就像增加一个空间维度。为什么?因为涨落可以沿``层级方向''传播,如同沿新空间维度。当$d_{\text{eff}}>4$,涨落被高维几何稀释,$\phi^4$项变不相关,回到平均场。}

\subsubsection{类IV:层级混合不动点}

中等耦合处出现新不动点,其特征是标度的对数修正。临界指数获得对数修正:
\begin{align}
    \beta_{\text{IV}} &= \beta_0 + \frac{c_1}{L} + O(L^{-2}), \\
    \nu_{\text{IV}} &= \nu_0\left(1 + c_2 \frac{\ln L}{L}\right), \\
    \gamma_{\text{IV}} &= \gamma_0\left(1 + c_3 \frac{\ln L}{L}\right),
\end{align}
其中普适常数$\{c_1, c_2, c_3\}$表征层级标度。

{\color{red}\textbf{[对数修正的起源]:} 当理论``边缘''($\lambda=0$的本征方向),RG流不是幂律而是对数。这里层级数$L$充当``边缘参数''——不完全相关也不完全不相关。对数因子$\ln L/L$是边缘算符的标志,类似2D Kosterlitz-Thouless相变。}

\subsection{本征值分析:相关和不相关算符}

在每个不动点附近,我们线性化RG流以识别相关(RG下增长)、边缘(对数)和不相关(衰减)算符。稳定性矩阵为
\begin{equation}
    M_{ij} = \left.\frac{\partial \beta_i}{\partial g_j}\right|_{g^*},
\end{equation}
其中$\{g_i\} = \{r, u, \kappa, \ldots\}$是耦合常数。

\textbf{类I(独立):}
\begin{equation}
    M_{\text{I}} = \begin{pmatrix}
        2 & 1/(8\pi^2) & 0 \\
        0 & \varepsilon & 0 \\
        0 & 0 & \varepsilon/6
    \end{pmatrix}.
\end{equation}
本征值:$\lambda_r = 2$(温度,相关),$\lambda_u = \varepsilon$(四次耦合,相关),$\lambda_\kappa = \varepsilon/6$(层间耦合,相关)。所有正本征值确认不稳定性。

{\color{red}\textbf{[相关性的阶梯]:} $\lambda_r=2$最强相关(温度偏离临界点最快流走); $\lambda_u=\varepsilon$次之(四次耦合变化较慢); $\lambda_\kappa=\varepsilon/6$最弱但仍相关(层间耦合缓慢增长)。实验上,调节$r$(温度)最容易,调节$u$或$\kappa$需要改变相互作用。}

\textbf{类III(强耦合):}
\begin{equation}
    M_{\text{III}} = \begin{pmatrix}
        2 & u^*/(8\pi^2) & \kappa^*/(4\pi^2) \\
        0 & \varepsilon & \kappa^*/(8\pi^2) \\
        0 & \kappa^*/(8\pi^2) & \varepsilon/2
    \end{pmatrix}.
\end{equation}
热本征值$\lambda_r = 2$保持相关。耦合$u$-$\kappa$扇区有本征值
\begin{equation}
    \lambda_\pm = \frac{3\varepsilon}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{\varepsilon}{4}\right)^2 + \left(\frac{\kappa^*}{8\pi^2}\right)^2}.
\end{equation}
两者都是正的,确认不动点吸引临界面中的RG流。

{\color{red}\textbf{[耦合扇区]:} $u$和$\kappa$的beta函数相互耦合($\beta_u$含$\kappa$,$\beta_\kappa$含$u$),所以不能单独分析。对角化$2\times 2$块给出``混合''本征方向$\lambda_\pm$——这些是真正的(不)相关组合,非$u$或$\kappa$本身。}

\subsection{标度关系}

临界指数满足超标度和Josephson恒等式:
\begin{align}
    \alpha + 2\beta + \gamma &= 2 \quad \text{(Rushbrooke)}, \\
    \gamma &= \nu(2 - \eta) \quad \text{(Fisher)}, \\
    d\nu &= 2 - \alpha \quad \text{(Josephson超标度)}.
\end{align}

对于层级系统,我们引入涉及层级数$L$的新标度关系:
\begin{equation}
    \beta_H = \beta_0 + \frac{c_1}{L} + O(L^{-2}),
\end{equation}
在类IV模拟中数值验证。

{\color{red}\textbf{[标度关系的起源]:} 这些恒等式不是独立假设,而是来自热力学一致性($dF=−SdT+\cdots$)和标度假设(临界点附近物理量形如$f(t,h)=b^{-\lambda}f(b^{y_t}t, b^{y_h}h)$)。它们约束指数——六个常见指数$\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\nu,\eta\}$中只有两个独立!}

\subsection{有限尺寸标度预言}

在$\ell$层线性尺寸为$N$的有限系统中,序参量呈现有限尺寸修正。磁化强度标度为
\begin{equation}
    m_N(T) = N^{-\beta/\nu} \tilde{m}(N^{1/\nu}(T - T_c)),
\end{equation}
其中$\tilde{m}(x)$是普适标度函数。

在临界点($T = T_c$),可观测量遵循幂律:
\begin{align}
    \langle |m_\ell| \rangle_N &\sim N^{-\beta/\nu}, \\
    \chi_N &\sim N^{\gamma/\nu}, \\
    \text{Binder累积量:} \quad U_N &= 1 - \frac{\langle m_\ell^4 \rangle}{3\langle m_\ell^2 \rangle^2} \to U^* \quad \text{(普适)}.
\end{align}

对每个普适类:
\begin{itemize}
    \item \textbf{类I}:$U^* \approx 0.465$(3D Ising)
    \item \textbf{类III}:$U^* = 2/3$(平均场)
    \item \textbf{类IV}:$U^*(L) = U_0 + c_U/\ln L$(对数修正)
\end{itemize}

$N^{\beta/\nu} m_N$对$N^{1/\nu}(T - T_c)$的数据坍缩图提供预言指数和普适类识别的直接验证。因此RG框架为层级协调系统提供了基础理解和实用诊断工具。

{\color{red}\textbf{[有限尺寸标度的威力]:} 在真实系统(有限尺寸$N$),永远到不了热力学极限($N\to\infty$)。但有限尺寸标度说:只要知道指数$\nu$和$\beta$,可以将不同$N$的数据``坍缩''到同一条普适曲线$\tilde{m}(x)$——这是验证理论和测量指数的黄金标准。}

